Question

（Ⅰ）如图1，A，B，C是平面内的三个点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，试证明：存在实数λ，使得：

PC

=λ

PA

+(1-λ)

PB

．
（Ⅱ）如图2，设G为△ABC的重心，PQ过G点且与AB、AC（或其延长线）分别交于P，Q点，若

AP

=m

AB

，

AQ

=n

AC

，试探究：

1

m

+

1

n

的值是否为定值，若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ使得：

BC

=λ

BA

，变形，可得结论；
（II）连结AG，利用G为△ABC的重心，结合（I）的结论即可得到结论．

解答：（Ⅰ）证明：由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ使得：

BC

=λ

BA

，…（2分）
即

PC

-

PB

=λ(

PA

-

PB

)…（4分）
化简为

PC

=λ

PA

+(1-λ)

PB

结论得证．…（6分）
（Ⅱ）解：连结AG，因为G为△ABC的重心，
所以：

AG

=

2

3

•

1

2

(

AB

+

AC

)=

1

3

AB

+

1

3

AC

…（8分）
又因为

AP

=m

AB

，

AQ

=n

AC

所以

AG

=

1

3

AB

+

1

3

AC

=

1

3m

AP

+

1

3n

AQ

…（10分）
由（Ⅰ）知：

1

3m

+

1

3n

=1所以

1

m

+

1

n

=3为定值．…（12分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查向量的共线，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．