Question

20．已知A（1，0），P，Q是单位圆上的两动点且满足$\overrightarrow{OP}⊥\overrightarrow{OQ}$，则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OQ}$的最大值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OM}$，则$|\overrightarrow{OM}|$=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{OM}$的方向任意．可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}$=1×$\sqrt{2}$×$cos＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OM}＞$，即可得出．

解答 解：设$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OM}$，则$|\overrightarrow{OM}|$=$\sqrt{{\overrightarrow{OP}}^{2}+{\overrightarrow{OQ}}^{2}+2\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}}$=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{OM}$的方向任意．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}$=1×$\sqrt{2}$×$cos＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OM}＞$≤$\sqrt{2}$，因此最大值为$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．