Question

8．已知函数f（x）=log_a（x²-2x+3）（a＞0，a≠1），当x∈[0，3]时，恒有f（x）＞-1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由配方法得x²-2x+3=（x-1）²+2，从而可得（x-1）²+2∈[2，6]；从而讨论以确定实数a的取值范围．

解答 解：∵x²-2x+3=（x-1）²+2，
又∵x∈[0，3]，
∴（x-1）²+2∈[2，6]；
①当a＞1时，f（x）＞0恒成立；
②当0＜a＜1时，
y=log_au在[2，6]上是减函数，
故log_a6＞-1，
故0＜a＜$\frac{1}{6}$；
综上所述，实数a的取值范围为（0，$\frac{1}{6}$）∪（1，+∞）．

点评 本题考查了复合函数的应用及恒成立问题与分类讨论的思想应用．