Question

（2009•浦东新区一模）已知数列{a_n}是首项a₁=a，公差为2的等差数列；数列{b_n}满足2b_n=（n+1）a_n．
（1）若a₁、a₃、a₄成等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若对任意n∈N^*都有b_n≥b₅成立，求实数a的取值范围；
（3）数列{c_n}满足 cn-cn-2=3•(-

1

2

)n-1(n∈N*且n≥3)，其中c₁=1，c2=-

3

2

；f（n）=b_n-|c_n|，当-16≤a≤-14时，求f（n）的最小值（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）因为a₁、a₃、a₄成等比数列，所以a₁•a₄=a₃²，由此能求出a_n．
（2）由2b_n=（n+1）a_n，bn=n2+

a

2

n+

a-2

2

=(n+

a

4

)2-(

a-4

4

)2，由题意得：

9

2

≤-

a

4

≤

11

2

，由此能求出a的范围．
（3）因为cn-cn-2=3•(-

1

2

)n-1(n≥3)．当n为偶数时：Cn=-2+(

1

2

)n-1(n∈N*)；Cn=2-(

1

2

)n-1(n∈N*)；由此能求出f(n)min=f(4)=16+2a+

a-2

2

+

1

8

-2=

5

2

a+

105

8

．

解答：解：（1）因为a₁、a₃、a₄成等比数列，
所以a₁•a₄=a₃²，
即a•（a+6）=（a+4）²，a=-8，
∴a_n=-8+（n-1）×2=2n-10…（4分）
（2）由2b_n=（n+1）a_n，
bn=n2+

a

2

n+

a-2

2

=(n+

a

4

)2-(

a-4

4

)2，…（6分）
由题意得：

9

2

≤-

a

4

≤

11

2

，
-22≤a≤-18…（10分）
（3）因为cn-cn-2=3•(-

1

2

)n-1(n≥3)
①当n为偶数时：cn-cn-2=3•(-

1

2

)n-1=-3•(

1

2

)n-1，
cn-2-cn-4=3•(-

1

2

)n-3=-3•(

1

2

)n-3，
C4-C2=3•(-

1

2

)3=-3•(

1

2

)3，
所以 C_n=C₂+（C₄-C₂）+L+（C_n-2-C_n-4）+（C_n-C_n-2）
=-3•[

1

2

+(

1

2

)3+L+(

1

2

)n-3+(

1

2

)n-1]=-3•

1 2 - 1 2 ( 1 4 ) n 2

1- 1 4

即Cn=-2+(

1

2

)n-1(n∈N*)；（12分）
②n为奇数时：Cn-Cn-2=3•(-

1

2

)n-1=3•(-

1

2

)n-1，Cn-2-Cn-4=3•(-

1

2

)n-3=3•(

1

2

)n-3，
C3-C1=3•(-

1

2

)2=3•(

1

2

)2，
所以 C_n=C₁+（C₃-C₁）+L+（C_n-2-C_n-4）+（C_n-C_n-2）
=1+3[(

1

2

)3+L+(

1

2

)n-3+(

1

2

)n-1]=1+

3 4 [1-( 1 4 ) n-1 2 ]

1- 1 4

=2-(

1

2

)n-1
即Cn=2-(

1

2

)n-1(n∈N*)；…（14分）
综合①②得   Cn=

2-( 1 2 )n-1 -2+( 1 2 )n-1  n为偶数时

n为奇数时
所以 |cm| =2-(

1

2

)n-1，bn=n2+

a

2

n+

a-2

2

所以f(m)=bm-|cm| =n2+

a

2

n+

a-2

2

+(

1

2

)n-1-2，…（15分）
则f(n+1)=(n+1)2+

a

2

(n+1)+

a-2

2

+(

1

2

)n -2，
f(n+1)-f(n)=[(n+1)2+

a

2

(n+1)+

a-2

2

+(

1

2

)n-2]-[n2+

a

2

n+

a-2

2

+(

1

2

)n-1-2]
=2n+1-(

1

2

)n+

a

2

．…（16分）
因为数列{2n+1-(

1

2

)n+

a

2

}对任意n∈N^*是单调递增数列，
且-16≤a≤-14
所以当n≥4时，f（n+1）-f（n）
=2n+1-(

1

2

)n+

a

2

≥ 9-

1

16

+

a

2

 ＞

15

16

＞0
即f（4）＜f（5）＜f（6）＜L＜f（n）＜L
所以当1≤n≤3时f（n+1）-f（n）
=2n+1-(

1

2

)n+

a

2

＜0-，
即f（1）＞f（2）＞f（3）＞f（4）
当n=4时，f（4）=16+2a+

a-2

2

+

1

8

-2
所以f(n)min=f(4)=16+2a+

a-2

2

+

1

8

-2=

5

2

a+

105

8

 …（18分）

点评：本题考查数列与函数的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．