Question

曲线y=f（x）=ax³+bx²+cx，当x=1-

3

时，f（x）有极小值，当x=1+

3

处有极大值，且在x=1处切线的斜率为

3

2

．
（I）求f（x）；
（II）曲线上是否存在一点P，使得y=f（x）的图象关于点P中心对称？若存在，请求出点P坐标，并给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据1±

3

是极值点可知f′（1±

3

）=0，以及f′（1）=

3

2

建立方程组，解之即可；
（II）假设存在P（x₀，y₀）满足则f（x₀+x）+f（x₀-x）=2y₀，代入函数解析式，化简整理可求出所求．

解答：解：（I）f′（x）=3ax²+2bx+c
∵当x=1-

3

时，f（x）有极小值，当x=1+

3

处有极大值
∴f′（1±

3

）=0
即1±

3

为方程3ax²+2bx+c=0的两根
∴-

2b

3a

=（1+

3

）+（1-

3

）

c

3a

=（1+

3

）（1-

3

）
∴b=-3a，c=-6a
又f（x）在x=1处切线的斜率为

3

2

．
∴f′（1）=

3

2

∴3a+2b+c=

3

2

∴a=-

1

6

，b=

1

2

，c=1
∴f（x）=-

1

6

x³+

1

2

x²+x
（II）假设存在P（x₀，y₀）满足则f（x₀+x）+f（x₀-x）=2y₀，
∴-

1

6

（x₀+x）³+

1

2

（x₀+x）²+（x₀+x）-

1

6

（x₀-x）³+

1

2

（x₀-x）²+（x₀-x）=2y₀，
化简得（1-x₀）x²+x₀²+2x₀-

1

3

x₀³=2y₀，
∵上式任意x∈R等式成立
∴

1-x0=0 2x=  x 2 0 +2x0 - 1 3 x 3 0

∴x₀=1，y₀=

4

3

∴曲线上存在P（1，

4

3

）满足题意

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数在某点取得极值的条件，同时考查了方程组的解法，属于中档题．