Question

（2011•温州二模）已知F是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点，若椭圆上存在点P，使得直线PF与圆x²+y²=b²相切，当直线PF的倾斜角为

2π

3

，则此椭圆的离心率是（　　）

• A．

  2 7

  7

• B．

  2 5

  5

• C．

  2

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：求出椭圆的左焦点，进而可设直线方程，利用直线l为圆O：x²+y²=b²的一条切线，可得一方程，利用椭圆的简单性质a²=b²+c²，根据离心率公式即可求出e的值．

解答：解：设椭圆的左焦点为（-c，0），c=

a2-b2

，
∵直线PF的倾斜角为

2π

3

，
则直线PF的方程为

3

x+y+

3

c=0，
∵直线PF为圆O：x²+y²=b²的一条切线
∴

| 3 c|

2

=b，即b=

3

2

c，
∴a2=b2+c2=

7

4

c2
∴e=

c

a

=

2 7

7

．
故选A．

点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆的离心率，考查圆的切线问题，有一定的综合性．