Question

对任意x∈R，给定区间[k-

1

2

，k+

1

2

]（k∈z），设函数f（x）表示实数x与x的给定区间内
整数之差的绝对值．
（1）当x∈[-

1

2

，

1

2

]时，求出f（x）的解析式；当x∈[k-

1

2

，k+

1

2

]（k∈z）时，写出用绝对值符号表示的f（x）的解析式；
（2）求f(

4

3

)，f(-

4

3

)的值，判断函数f（x）（x∈R）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）当e-

1

2

＜a＜1时，求方程f(x)-loga

x

=0的实根．（要求说明理由e-

1

2

＞

1

2

）

Answer 1

分析：（1）当x∈[-

1

2

，

1

2

]时，根据定义，写出f（x）的解析式；当x∈[k-

1

2

，k+

1

2

]（k∈z）时，由定义知：k为与x最近的一个整数，写出解析式即可；（2）根据（1）求得
f(

4

3

)，f(-

4

3

)即可，利用奇偶性的定义即可判断函数f（x）（x∈R）的奇偶性，（3）要求方程f(x)-loga

x

=0的根，即求|x-k|-

1

2

log_ax=0的根，分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得方程根的个数．

解答：解：（1）当x∈[-

1

2

，

1

2

]时，
由定义知：x与0距离最近，f（x）=|x|，x∈[-

1

2

，

1

2

]
当x∈[k-

1

2

，k+

1

2

]（k∈z）时，
由定义知：k为与x最近的一个整数，故
f（x）=|x-k|，x∈[k-

1

2

，k+

1

2

]（k∈z）；
（2）f(

4

3

)=

1

3

，f(-

4

3

)=

1

3

判断f（x）是偶函数．
对任何x∈R，函数f（x）都存在，且存在k∈Z，满足
k-

1

2

≤x≤k+

1

2

，f（x）=|x-k|，
由k-

1

2

≤x≤k+

1

2

，可以得出-k-

1

2

≤-x≤-k+

1

2

，
即-x∈[-k-

1

2

，-k+

1

2

]，
由（Ⅰ）的结论，f（-x）=|-x-（-k）|=|k-x|=|x-k|=f（x），
即f（x）是偶函数．
（3）解：f(x)-loga

x

=0，即|x-k|-

1

2

log_ax=0，
①当x＞1时，|x-k|≥0＞

1

2

log_ax，
∴|x-k|-

1

2

log_ax=0没有大于1的实根；
②容易验证x=1为方程|x-k|-

1

2

log_ax=0的实根；
③当

1

2

＜x＜1时，方程|x-k|-

1

2

log_ax=0变为1-x-

1

2

log_ax=0
设H（x）=

1

2

log_ax-（1-x）（

1

2

＜x＜1）
则H′（x）=

1

2xlna

+1＜

1

2xlne- 1 2

+1=-

1

x

+1＜0，
所以当

1

2

＜x＜1时，H（x）为减函数，H（x）＞H（1）=0，
所以方程没有

1

2

＜x＜1的实根；
④当0＜x≤

1

2

时，方程|x-k|-

1

2

log_ax=0变为x-

1

2

log_ax=0
设G（x）=

1

2

log_ax-x（0＜x≤

1

2

），显然G（x）为减函数，
∴G（x）≥G（

1

2

）=H（

1

2

）＞0，
所以方程没有0＜x≤

1

2

的实根．
综上可知，当e-

1

2

＜a＜1时，方程f(x)-loga

x

=0有且仅有一个实根，实根为1．

点评：此题是中档题．考查新定义求函数的解析式，以及利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，分类讨论求方程根的个数问题，体现了分类讨论的思想，同时考查了利用应用知识分析解决问题的能力和运算能力．