Question

对于数集，其中，，定义向量集

. 若对于任意，存在，使得，则称X

具有性质P. 例如具有性质P.

    （1）若x＞2，且，求x的值；（4分）

    （2）若X具有性质P，求证：1ÎX，且当x_n＞1时，x₁=1；（6分）

    （3）若X具有性质P，且x₁=1，x₂=q（q为常数），求有穷数列的通

项公式.（8分）

 

Answer 1

【答案】

（1）4；（2）见解析；（3），i=1, 2, …, n.

【解析】[解]（1）选取，Y中与垂直的元素必有形式.        ……2分

         所以x=2b，从而x=4.                                       ……4分

    （2）证明：取.设满足.

         由得，所以、异号.

         因为-1是X中唯一的负数，所以、中之一为-1，另一为1，

故1ÎX.                                                  ……7分

假设，其中，则.

选取，并设满足，即，

则、异号，从而、之中恰有一个为-1.

若=-1，则，矛盾；

若=-1，则，矛盾.

所以x₁=1.                                                ……10分

    （3）[解法一]猜测，i=1, 2, …, n.                        ……12分

         记，k=2, 3, …, n.

         先证明：若具有性质P，则也具有性质P.

         任取，、Î.当、中出现-1时，显然有满足；

         当且时，、≥1.

         因为具有性质P，所以有，、Î，使得，

从而和中有一个是-1，不妨设=-1.

假设Î且Ï，则.由，得，与

Î矛盾.所以Î.从而也具有性质P.               ……15分

现用数学归纳法证明：，i=1, 2, …, n.

当n=2时，结论显然成立；

         假设n=k时，有性质P，则，i=1, 2, …, k；

         当n=k+1时，若有性质P，则

         也有性质P，所以.

         取，并设满足，即.由此可得s与t中有且只有一个为-1.

         若，则，所以，这不可能；

         所以，，又，所以.

         综上所述， ，i=1, 2, …, n.                  ……18分

         [解法二]设，，则等价于.

         记，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于

原点对称.                                               ……14分

注意到-1是X中的唯一负数，共有n-1个数，

所以也只有n-1个数.

由于，已有n-1个数，对以下三角数阵

                    

                     

                      ……

                     

         注意到，所以，从而数列的通项公式为

         ，k=1, 2, …, n.                        ……18分