Question

甲、乙两队各3名同学参加世博知识竞赛，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．假设甲队每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，．且每个人回答正确与否互不影响，用ξ表示甲队的总分．
（1）求ξ的分布列及期望；
（2）记事件A“甲乙两队总分之和等于3”，事件B“甲队总分大于乙队总分”，求P（AB）．

Answer 1

解：（1）甲队中的3人答题可看做3次独立重复试验．
事件A：甲队一人答题答对，
则P（A）=，
又答对得1分，答错得0分，
∴甲队的总分ξ～（3，），
∴P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，
P（ξ=2）=，P（ξ=3）=．
∴分布列为

∴Eξ=3×=2；
（2）事件AB：甲乙两队得分之和为3分，且甲队得分大于乙队得分，
所以，事件AB包括甲队得3分，乙队得0分；甲队得2分，乙队得1分，
∵乙队中3人答对的概率分别为，，，∴乙队中3人答错的概率分别为．
∴P（AB）=+×[××+××+]
=．
所以，P（AB）=．
分析：（1）甲队中的3名同学各自独立的回答一个问题，且答对的概率均为，所以可以理解为进行3次独立重复试验，3名同学答题得分的所有可能为0、1、2、3，利用独立重复试验的概率公式求出ξ分别是0、1、2、3时的概率，则ξ的分布列可求，数学期望可直接利用二项分布的期望公式求解；
（2）事件A“甲乙两队总分之和等于3”，事件B“甲队总分大于乙队总分”，则事件AB所包含的情况为：“甲队得3分，乙队得0分”；“甲队得2分，乙队得1分”，两类情况为互斥事件，每一类的概率可用相互独立事件的概率求解．
点评：本题考查了n次独立重复试验恰有k次发生的概率，训练了离散型随机变量的分布列的求解，考查了二项分布的期望公式，考查了互斥事件的概率等于概率和，练习相互独立事件的概率的求法，是中档题．