分析 (1)运用代入法和平方相加,结合x=ρcosθ,y=ρsinθ,化简整理,即可得到所求直线l和圆C的极坐标方程;
(2)将圆C的极坐标方程代入直线的极坐标方程,求得θ=0或$\frac{2π}{3}$,由扇形和三角形的面积公式,计算即可得到所求面积.
解答 解:(1)直线l参数方程为:$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}+t}\end{array}\right.$(t为参数),
消去t,可得x=-$\sqrt{3}$(y-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$),
化简可得直线l的直角坐标方程为x+$\sqrt{3}$y-2=0,
由x=ρcosθ,y=ρsinθ,即有ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ-2=0,
可得2ρcos(θ-$\frac{π}{3}$)=2,即为ρcos(θ-$\frac{π}{3}$)=1;
圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$(θ为参数),
由sin2θ+cos2θ=1,可得圆C的直角坐标方程为x2+y2=4.
由x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=4,
即为圆C:ρ=2;
(2)联立直线和圆C的极坐标方程,
将ρ=2代入直线ρcos(θ-$\frac{π}{3}$)=1,
可得cos(θ-$\frac{π}{3}$)=$\frac{1}{2}$,
则θ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$或-$\frac{π}{3}$,
即θ=0或$\frac{2π}{3}$,
可得∠AOB=$\frac{2π}{3}$,
S扇形AOB=$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{3}$•22=$\frac{4π}{3}$,
S△AOB=$\frac{1}{2}$•22•sin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$,
则劣弧$\widehat{AB}$与弦AB所围成的面积为$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$.
点评 本题考查极坐标方程和参数方程、直角坐标方程的互化,注意运用代入法和极坐标与直角坐标的关系,考查直线和圆的位置关系,考查扇形和三角形的面积,属于中档题.
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A. | $\frac{1}{6}$ | B. | $\frac{1}{12}$ | C. | $\frac{1}{10}$ | D. | $\frac{1}{11}$ |
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