Question

1．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}+t}\end{array}\right.$（t为参数）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
（1）求直线l和圆C的极坐标方程；
（2）设l与曲线C交于点A和B两点，求劣弧$\widehat{AB}$与弦AB所围成的面积．

Answer 1

分析 （1）运用代入法和平方相加，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ，化简整理，即可得到所求直线l和圆C的极坐标方程；
（2）将圆C的极坐标方程代入直线的极坐标方程，求得θ=0或$\frac{2π}{3}$，由扇形和三角形的面积公式，计算即可得到所求面积．

解答 解：（1）直线l参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}+t}\end{array}\right.$（t为参数），
消去t，可得x=-$\sqrt{3}$（y-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
化简可得直线l的直角坐标方程为x+$\sqrt{3}$y-2=0，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，即有ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ-2=0，
可得2ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=2，即为ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=1；
圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
由sin²θ+cos²θ=1，可得圆C的直角坐标方程为x²+y²=4．
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得ρ²cos²θ+ρ²sin²θ=4，
即为圆C：ρ=2；
（2）联立直线和圆C的极坐标方程，
将ρ=2代入直线ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=1，
可得cos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
则θ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$或-$\frac{π}{3}$，
即θ=0或$\frac{2π}{3}$，
可得∠AOB=$\frac{2π}{3}$，
S_扇形AOB=$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{3}$•2²=$\frac{4π}{3}$，
S_△AOB=$\frac{1}{2}$•2²•sin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$，
则劣弧$\widehat{AB}$与弦AB所围成的面积为$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查极坐标方程和参数方程、直角坐标方程的互化，注意运用代入法和极坐标与直角坐标的关系，考查直线和圆的位置关系，考查扇形和三角形的面积，属于中档题．