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【题目】已知函数f(x)=x2﹣2x﹣8,g(x)=2x2﹣5x﹣18
(1)求不等式g(x)<0的解集
(2)若对一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15成立,求实数m的取值范围.

【答案】
(1)解:g(x)=2x2﹣5x﹣18<0

∴(2x﹣9)(x+2)<0解得

∴不等式g(x)<0的解集为


(2)解:解法一:∵f(x)=x2﹣2x﹣8当x>2时,f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15恒成立,

∴x2﹣2x﹣8≥(m+2)x﹣m﹣15,即x2﹣4x+7≥m(x﹣1),

∴对一切x>2,均有不等式 成立.

(当x=3时等号成立).

∵x>2,

∴实数m的取值范围是(﹣∞,2].

解法二:∵f(x)=x2﹣2x﹣8当x>2时,f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15恒成立,

即x2﹣(m+4)x+m+7≥0对x>2恒成立

令h(x)=x2﹣(m+4)x+m+7,

△=(m+4)2﹣4(m+7)=m2+4m﹣12=(m+6)(m﹣2)

①当h(x)图象与x轴没有交点或只有一个交点时,△≤0即﹣6≤m≤2时满足条件

②当h(x)图象与x轴有两个交点时,则有

综上所述,实数m的取值范围是(﹣∞,2]


【解析】(1)直接因式分解后求解不等式的解集;(2)解法一:把函数f(x)的解析式代入f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15,分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围.解法二:构造函数h(x)=x2﹣(m+4)x+m+7,根据方程根的问题,分类讨论即可求出.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握当时,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增;当时,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减.

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