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    已知椭圆：
    x2
    5
    +y2=1    中，F1、F2分科技别为左、右焦点，过F2作椭圆的弦AB．
    （1）求证：
    1
    |F2A|
    +
    1
    |F2B|
    为定值；
    （2）求△F1AB面积的最大值．
    分析：（1）由题意a2=5，b2=1，可得F1（-2，0），F2（2，0）．若AB斜率存在，设直线AB：y=k（x-2）与椭圆方程联立，进而可表示
    1
    |F2A|
    +
    1
    |F2B|
    ，化简可知为定值．当AB⊥x轴时，
    1
    |F2A|
    +
    1
    |F2B|
    =2
    		5
    也成立，从而得证．
    （2）设AB倾斜角为θ，进而可得S△F1AB=
    4
    		5
    sinθ
    cos2θ+5sin2θ
    =
    4
    		5
    sinθ
    1+4sin2θ
    ．根据0＜θ＜π，可得sinθ＞0，从而可求△F1AB面积的最大值．
    解答：（1）证明：∵a2=5，b2=1
    ∴F1（-2，0），F2（2，0）
    若AB斜率存在，设直线AB：y=k（x-2）
    由
    y=k(x-2)
    x2
    5
    +y2=1
    ⇒(5k2+1)x2-20k2x+20k2-5=0
    设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：x1+x2=
    20k2
    5k2+1
    ．x1•x2=
    5(4k2-1)
    5k2+1

    ∵|F2A|=a-ex=
    		5
    -
    2
    		5
    x1，|F2B|=
    		5
    -
    2
    		5
    x2
    ∴
    1
    |F2A|
    +
    1
    |F2B|
    =
    2
    		5
    -
    2
    		5
    (x1+x2)
    5-2(x1+x2)+
    4
    5
    x1x2
    =2
    		5
    为定值．
    当AB⊥x轴时，
    1
    |F2A|
    +
    1
    |F2B|
    =2
    		5
    也成立．
    ∴
    1
    |F2A|
    +
    1
    |F2B|
    =定值．
    （2）解：设AB倾斜角为θ
    |AB|=|F2A|+|F2B|=2
    		5
    -
    2
    		5
    (x1+x2)=
    2
    		5
    (1+k2)
    5k2+1
    =
    2
    		5
    cos2θ+5sin2θ

    设F1到AB距离为d．则d=2•csinθ=4sinθ．
    ∴S△F1AB=
    4
    		5
    sinθ
    cos2θ+5sin2θ
    =
    4
    		5
    sinθ
    1+4sin2θ
    ．
    ∴0＜θ＜π
    ∴sinθ＞0
    ∴S△F1AB=
    4
    		5
    1
    sinθ
    +4sinθ
    ≤
    		5
    ．
    当且仅当sinθ=
    1
    2
    ，即θ=30°或150°，△F1AB面积的最大值为
    		5
    ．
    点评：本题以椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查面积最值的求解，属于中档题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C1：
    x2
    5
    +
    y2
    2
    =1和圆C：x2+y2=4，且圆C与x轴交于A1，A2两点．
    （1）设椭圆C1的右焦点为F，点P的圆C上异于A1，A2的动点，过原点O作直线PF的垂线交椭圆的右准线交于点Q，试判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明；
    （2）设点M（x0，y0）在直线x+y-3=0上，若存在点N∈C，使得∠OMN=60°（O为坐标原点），求x0的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列五个命题，其中真命题的序号是
     
    （写出所有真命题的序号）．
    （1）已知C：
    x2
    2-m
    +
    y2
    m2-4
    =1    （m∈R），当m＜-2时C表示椭圆．
    （2）在椭圆
    x2
    45
    +
    y2
    20
    =1上有一点P，F1、F2是椭圆的左，右焦点，△F1PF2为直角三角形则这样的点P有8个．
    （3）曲线
    x2
    10-m
    +
    y2
    6-m
    =1(m＜6)    与曲线
    x2
    5-m
    +
    y2
    9-m
    =1(5＜m＜9)    的焦距相同．
    （4）渐近线方程为y=±
    b
    a
    x(a＞0，b＞0)    的双曲线的标准方程一定是
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1
    （5）抛物线y=ax2的焦点坐标为(0，
    1
    4a
    )    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆E：
    x2
    5
    +
    y2
    3
    =1    ．
    （1）在直线l：x-y+2=0上取一点P，过点P且以椭圆E的焦点为焦点的椭圆中，求长轴最短的椭圆C的方程；
    （2）设P，Q，R，N都在椭圆C上，F为右焦点，已知
    PF
    ∥
    FQ
    ，
    RF
    ∥
    FN
    且
    PF
    •
    RF
    =0，求四边形PRQN面积S的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知直线y=kx+1与椭圆
    x2
    5
    +
    y2
    m
    =1    恒有公共点，则实数m的取值范围为（　　）
    A、m≥1
    B、m≥1，或0＜m＜1
    C、0＜m＜5，且m≠1
    D、m≥1，且m≠5

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    有下列五个命题：
    ①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题．
    ②在平面内，F1、F2是定点，丨F1F2丨=6，动点M满足丨MF1丨-丨MF2丨=4，则点M的轨迹是双曲线．
    ③“在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件．
    ④“若-3＜m＜5，则方程
    x2
    5-m
    +
    y2
    m+3
    =1是椭圆”．
    ⑤已知向量
    a
    ，
    b
    ，
    c
    是空间的一个基底，则向量
    a
    +
    b
    ，
    a
    -
    b
    ，
    c
    也是空间的一个基底．
    ⑥椭圆
    x2
    25
    +
    y2
    9
    =1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为5．
    其中真命题的序号是
    ①③⑤⑥
    ①③⑤⑥
    ．

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