Question

3．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＜0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，将y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度后得到函数y=g（x）的图象．
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）在△ABC中，内角A，B，C满足2sin²$\frac{A+B}{2}$=g（C+$\frac{π}{3}$）+1，且其外接圆的半径为1，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由图知周期T，利用周期公式求出ω，由f（$\frac{π}{12}$）=1，结合|φ|＜$\frac{π}{2}$求出φ，
利用三角函数图象平移求出g（x）的解析式；
（2）利用三角函数恒等变换与三角形内角和定理，化简求C的值，
由正弦、余弦定理，基本不等式求出ab≤1，从而求出三角形面积的最大值．

解答 解：（1）由图知，$\frac{2π}{ω}$=4×（$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$），解得ω=2；
∵f（$\frac{π}{12}$）=sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）=1，
∴2×$\frac{π}{12}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得φ=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
由于|φ|＜$\frac{π}{2}$，因此φ=$\frac{π}{3}$；
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x-$\frac{π}{4}$）=sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{3}$]=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
即函数y=g（x）的解析式为g（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）；
（2）∵2sin²$\frac{A+B}{2}$=g（C+$\frac{π}{3}$）+1，
∴1-cos（A+B）=1+sin（2C+$\frac{π}{2}$），
∵cos（A+B）=-cosC，sin（2C+$\frac{π}{2}$）=cos2C，
cosC=cos2C，即cosC=2cos²C-1，
所以cosC=-$\frac{1}{2}$或1（不合题意舍去），
可得：C=$\frac{2π}{3}$；
由正弦定理得$\frac{c}{sinC}$=2R=2，解得c=$\sqrt{3}$，
由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{2}$，
∴a²+b²=3-ab≥2ab，ab≤1，（当且仅当a=b等号成立），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴△ABC面积最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了三角函数周期公式、图象平移与三角函数恒等变换、内角和定理以及正弦、余弦定理，基本不等式的应用问题，是综合题．