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已知抛物线C:y2=4x,直线l:y=x+b与C交于A、B两点,O为坐标原点.
(1)当直线l过抛物线C的焦点F时,求|AB|;
(2)是否存在直线l使得直线OA、OB倾斜角之和为135°,若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】分析:(1)先求直线的方程,再与抛物线联立组成方程组.利用抛物线的定义,可求弦AB的长;
(2)假设存在直线l:y=x+b使得直线OA、OB倾斜角之和为135°,设直线OA、OB的倾斜角分别为α、β,斜率分别为k1,k2,则α+β=135°,从而,其中,由此即可求得结论.
解答:解:(1)抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),代入直线l:y=x+b可得,∴直线l:y=x
设A(x1,y1),B(x2,y2),则联立方程可得,消去y得x2-18x+1=0,
∴x1+x2=18,
∴|AB|=x1+x2+p=18+2=20;
(2)假设存在直线l:y=x+b使得直线OA、OB倾斜角之和为135°,设A(x1,y1),B(x2,y2),则联立方程可得
消去x得y2-8y+8b=0,
∴y1+y2=8,y1y2=8b
设直线OA、OB的倾斜角分别为α、β,斜率分别为k1,k2,则α+β=135°
,其中
∴y1y2-16+4(y1+y2)=0,
∴8b-16+32=0,解得b=-2
代入△=64-32b=128>0,满足题意
综上,存在直线l:y=x-2使得直线OA、OB倾斜角之和为135°.
点评:本题考查抛物线的弦长,考查直线与抛物线的位置关系,解题的关键是将直线与抛物线方程联立,利用韦达定理求解.
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(Ⅱ)设直线y=kx+b(k≠0)与抛物线C交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),且|y1-y2|=a(a>0),求证:a2=
16(1-kb)k2

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1
|AM|2
+
1
|BM|2
恒为定值.

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已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点,且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若
MA
MB
=0,则k=(  )

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