Question

如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的底面边长为3，侧棱长为4，连接A₁B，过A作AF⊥A₁B垂足为F，且AF的延长线交B₁B于E．
（1）求证：D₁B⊥平面AEC；
（2）求二面角B-AE-C的平面角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量的数量积公式，证明•=0，=0，即可得到结论；
（2）确定=（3，3，-4）是平面AEC的一个法向量，=（-1，0，0）是平面ABE的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角B-AE-C的平面角的正切值．
解答：（1）证明：根据题意，建立空间直角坐标系如图所示，
则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（3，3，），D₁（0，0，4）．
∵=（3，3，-4），=（0，3，），=（-3，3，0）
∴•=0，=0
∴⊥，
∵AE∩AC=A
∴D₁B⊥平面AEC；
（2）解：由（1）知，D₁B⊥平面AEC，∴=（3，3，-4）是平面AEC的一个法向量．
又∵=（-1，0，0）是平面ABE的一个法向量，
∴cos＜，＞==
∴tan＜，＞=，即二面角B-AE-C的平面角的正切值为．
点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．