Question

8．已知曲线y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）上的一个最高点的坐标为（$\frac{π}{2}$，$\sqrt{2}$），由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点（$\frac{3}{2}$π，0），φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（1）求这条曲线的函数解析式；
（2）写出函数的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由条件利用正弦函数的单调性，求得函数的单调区间．

解答 解：（1）由题意可得A=$\sqrt{2}$，$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{3π}{2}$-$\frac{π}{2}$，求得ω=$\frac{1}{2}$．
再根据最高点的坐标为（$\frac{π}{2}$，$\sqrt{2}$），可得$\sqrt{2}$sin（$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{2}$+φ）=$\sqrt{2}$，即sin（$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{2}$+φ）=1 ①．
再根据由此最高点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点（$\frac{3}{2}$π，0），可得得$\sqrt{2}$sin（$\frac{1}{2}$×$\frac{3π}{2}$+φ）=0，即sin（$\frac{3π}{4}$+φ）=0 ②，
由①②求得φ=$\frac{π}{4}$，故曲线的解析式为y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）．
（2）对于函数y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得4kπ-$\frac{3π}{2}$≤x≤4kπ+$\frac{π}{2}$，
可得函数的增区间为[4kπ-$\frac{3π}{2}$，4kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得4kπ+$\frac{π}{2}$≤x≤4kπ+$\frac{5π}{2}$，
可得函数的减区间为[4kπ+$\frac{π}{2}$，4kπ+$\frac{5π}{2}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，正弦函数的单调性，属于中档题．