Question

二次函数y=x²-x-6的图象与坐标轴交于A、B、C三点，圆M为△ABC的外接圆，斜率为2的直线l与圆M相交于不同两点E、F，令EF的中点为N，O为坐标原点，且|ON|=

1

2

|EF|．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）根据二次函数的图象，得出A、B、C的坐标，从而算出圆M的圆心和半径，即可得到圆M的方程；
（II）由题意可得△OEF是以O为直角顶点的直角三角形，设直线l方程为y=2x+n并与圆M方程消去y，得关于x的一元二次方程，设E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），得x₁+x₂、x₁x₂关于n的式子，代入

OE

•

OF

=0化简得到关于n的方程，解之得n=-6或

5

2

，即可得到满足条件的直线l方程．

解答：解：（I）∵二次函数y=x²-x-6的图象交x轴于点A（-2，0）和B（3，0）
∴△ABC的外接圆的圆心M在AB的中垂线上，设M（

1

2

，m）
又∵抛物线y=x²-x-6交y轴交于C（0，-6）
∴|PA|=|PC|，得

( 1 2 +2)2+(m-0)2

=

( 1 2 +0)2+(m+6)2

解之得m=-

5

2

，得圆M的圆心为（

1

2

，-

5

2

），
半径r=

( 1 2 +2)2+(- 5 2 -0)2

=

5 2

2

∴圆M的方程为（x-

1

2

）²+（y+

5

2

）²=

25

2

；
（2）∵EF的中点为N，坐标原点O满足|ON|=

1

2

|EF|
∴△OEF是以O为直角顶点的直角三角形．
设直线l方程为y=2x+n，与圆M方程消去y，得5x²+（4n+9）x+n²+5n-6=0
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），可得x₁+x₂=-

4n+9

5

，x₁x₂=

n2+5n-6

5

．
∵

OE

•

OF

=x₁x₂+y₁y₂=0，即5x₁x₂+2n（x₁+x₂）+n²
∴5×

n2+5n-6

5

+2n×（-

4n+9

5

）+n²=0，解之得n=-6或

5

2

因此，满足条件的直线l方程为y=2x+

5

2

或y=2x-6

点评：本题求满足条件的直线与圆的方程，着重考查了圆的方程和直线与圆的位置关系等知识是，属于中档题．