Question

已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量

m

=(a，b)，

n

=(sinB，sinA)，

p

=(b-2，a-2)．
（1）若

m

∥

n

，求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若

m

⊥

p

，边长c=2，角C=

π

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用向量平行的条件，写出向量平行坐标形式的条件，得到关于三角形的边和角之间的关系，利用余弦定理变形得到三角形是等腰三角形．
（2）利用向量垂直数量积为零，写出三角形边之间的关系，结合余弦定理得到求三角形面积所需的两边的乘积的值，求出三角形的面积．

解答：证明：（1）∵m∥n
∴asinA=bsinB
即a•

a

2R

=b•

b

2R

．其中R为△ABC外接圆半径．
∴a=b
∴△ABC为等腰三角形．
（2）由题意，m•p=0
∴a（b-2）+b（a-2）=0
∴a+b=ab
由余弦定理4=a²+b²-2ab•cos

π

3

∴4=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab
∴ab²-3ab-4=0
∴ab=4或ab=-1（舍去）
∴S_△ABC=

1

2

absinC
=

1

2

×4×sin

π

3

=

3

点评：向量是数学中重要和基本的概念之一，它既是代数的对象，又是几何的对象，作为代数的对象，向量可以运算，而作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面切线等几何对象；向量有长度，可以刻画长度等几何度量问题．