【题目】已知函数,,,为自然对数的底数.
(Ⅰ)若函数在上存在零点,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若函数在处的切线方程为.求证:对任意的,总有.
【答案】(Ⅰ).
(Ⅱ)见解析.
【解析】分析:(Ⅰ)首先利用导数判断函数的单调性,然后由此求出函数的最小值,只要最小值小于0即可求出实数的取值范围;(Ⅱ)首先由条件得出的值确定函数解析式,然后由得到,最后构造前后两个函数,验证前一个函数的最小值大于后一个函数的最大值。
详解:(Ⅰ)易得.
若,有,不合题意;
若,有,
,满足题设;
若,令,得
∴在上单调递减;在单调递增,
则,∴.
又满足题设,
综上所述,所求实数.
(Ⅱ)证明:易得,,
则由题意,得,解得.
∴,从而,即切点为.
将切点坐标代入中,解得. ∴.
要证,即证( ,
只需证 ).
令, .
则由,得,
∴在上单调递减;在上单调递增,
∴.
又由,得
∴在上单调递增;在上单调递减,
∴.
∴,
显然,上式的等号不能同时取到.
故对任意的,总有.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】通过随机询问110名性别不同的中学生是否爱好运动,得到如下的列联表:
男 | 女 | 总计 | |
爱好 | 40 | 20 | 60 |
不爱好 | 20 | 30 | 50 |
总计 | 60 | 50 | 110 |
由得,
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
参照附表,得到的正确结论是 ( )
A. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“爱好运动与性别有关”
B. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为 “爱好运动与性别有关”
C. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“爱好运动与性别无关”
D. 有以上的把握认为“爱好运动与性别无关”
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市调研考试后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于120分为优秀,120分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为.
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
合计 | 110 |
(1)请完成上面的列联表;
(2)根据列联表的数据,若按99%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”;
(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到9号或10号的概率.
参考公式及数据:,.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克,B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( )
A.1800元
B.2400元
C.2800元
D.3100元
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】袋子中有大小、形状完全相同的四个小球,分别写有和、“谐”、“校”“园”四个字,有放回地从中任意摸出一个小球,直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率。利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数,分别用,,,代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字,以每三个随机数为一组,表示摸球三次的结果,经随机模拟产生了以下组随机数:
由此可以估计,恰好第三次就停止摸球的概率为( )
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风,他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙:有、、三个木桩,木桩上套有编号分别为、、、、、、的七个圆环,规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩,且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况,现要将这七个圆环全部套到木桩上,则所需的最少次数为( )
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试,先将600个零件进行编号,编号分别为001,002,,599,600从中抽取60个样本,如下提供随机数表的第4行到第6行:
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据,则得到的第6个样本编号
A. 522B. 324C. 535D. 578
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2﹣y2=1.
(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积;
(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点,若l与圆x2+y2=1相切,求证:OP⊥OQ;
(3)设椭圆C2:4x2+y2=1,若M、N分别是C1、C2上的动点,且OM⊥ON,求证:O到直线MN的距离是定值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com