Question

【题目】某高校在上学期依次举行了“法律、环保、交通”三次知识竞赛活动，要求每位同学至少参加一次活动．该高校2014级某班50名学生在上学期参加该项活动的次数统计如图所示．

（1）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数不相等的概率．
（2）从该班中任意选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
（3）从该班中任意选两名学生，用η表示这两人参加活动次数之和，记“函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（3，5）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：从该班任取两名学生，他们参加活动的次数恰好相等的概率：

P= = ，故P=1﹣ =

（2）解：从该班中任选两名学生，用ξ表示这两学生参加活动次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别为：0，1，2，

于是P（ξ=0）= ，P（ξ=1）= = ，

P（ξ=2）= = ，从而ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P

Eξ=0× +1× +2× =

（3）解：因为函数f（x）=x2﹣ηx﹣1 在区间（3，5）上有且只有一个零点，则

f（3）f（5）＜0，即：（8﹣3η）（24﹣5η）＜0，

∴ ＜η＜ ，

又由于η的取值分别为：2，3，4，5，6，故η=3或4，

故所求的概率为：P（A）= =

【解析】（ 1）由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为5、25和20．由此能求出从该班中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率，继而求出不等的概率；．（2）从该班中任选两名学生，用ξ表示这两学生参加活动次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别为：0，1，2由此能求出ξ的分布列和ξ的数学期望；（3）根据函数零点定理，可得f（3）f（5）＜0，求出η的值，再根据古典概率求出事件A发生的概率．
【考点精析】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列的相关知识点，需要掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能正确解答此题．