Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：AB₁∥面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-BD-C的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱AA₁上是否存在点P，使得CP⊥面BDC₁？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）连接B₁C，与BC₁相交于O，连接OD，我们由三角形的中位线定理，易得OD∥AB₁，进而由线面平行的判定定理得到AB₁∥面BDC₁；
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面C₁BD和平面BDC的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C₁-BD-C的余弦值；
（Ⅲ）假设侧棱AA₁上存在点P，使得CP⊥面BDC₁，我们可以设出P点坐标，进而构造方程组，若方程组有解说明存在，若方程组无解，说明满足条件的P点不存在．

解答：证明：（I）连接B₁C，与BC₁相交于O，连接OD
∵BCC₁B₁是矩形，
∴O是B₁C的中点．
又D是AC的中点，
∴OD∥AB₁．（2分）
∵AB1?面BDC₁，OD?面BDC₁，
∴AB₁∥面BDC₁．（4分）
解：（II）如图，建立空间直角坐标系，则
C₁（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），
D（1，3，0）（5分）
设

n

=（x，y，z）是面BDC₁的一个法向量，则

n • C1B =0 n • C1D =0

即

3y+2z=0 x+3y=0

，令x=1
则

n

=（1，-

1

3

，

1

2

）．（6分）
易知

C1C

=（0，3，0）是面ABC的一个法向量．
∴cos＜

n

，

C1C

＞=

2

7

．（8分）
∴二面角C₁-BD-C的余弦值为

2

7

．（9分）
（III）假设侧棱AA₁上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC₁．
则

CP • C1B =0 CP • C1D =0

，即

3(y-3)=0 2+3(y-3)=0

∴方程组无解．∴假设不成立．
∴侧棱AA₁上不存在点P，使CP⊥面BDC₁．（14分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（I）的关键是证得OD∥AB₁，（II）（III）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题和线面垂直问题转化为空间向量夹角问题．