Question

（2013•淄博二模）已知函数f（x）在实数集R上具有下列性质：
①直线x=1是函数f（x）的一条对称轴；
②f（x+2）=-f（x）；
③当1≤x₁＜x₂≤3时，（f（x₂）-f（x₁））•（x₂-x₁）＜0，
则f（2011）、f（2012）、f（2013）从大到小的顺序为

f（2013），f（2012），f（2011）

．

Answer 1

分析：由①得f（-x+1）=f（x+1）；由②可求得f（x）的周期；由③可判断f（x）在[1，3]上的单调性．运用函数周期性及f（-x+1）=f（x+1）可把f（2011）、f（2012）、
f（2013）转化到区间[1，3]上处理，再利用单调性即可作出比较．

解答：解：由②f（x+2）=-f（x）可得f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），所以f（x）为以4为周期的函数．
由③知：f（x）在[1，3]上为减函数，由①得，f（-x+1）=f（x+1），
所以f（2011）=f（4×502+3）=f（3），f（2012）=f（4×503）=f（0）=f（-1+1）=f（1+1）=f（2），f（2013）=f（4×503+1）=f（1），
因为f（x）在[1，3]上为减函数，所以f（1）＞f（2）＞f（3），即f（2013）＞f（2012）＞f（2011），
故答案为 f（2013），f（2012），f（2011）．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、周期性及其应用，准确理解相关定义及其变形是解决本题的基础，解决本题的基本思路利用性质把问题转化到区间[1，3]上解决，属于中档题．