Question

已知定义在区间（-1，1）上的函数为奇函数．且．
（1）、求实数a、b的值．
（2）、求证：函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．
（3）、解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

【答案】分析：（1）由“函数f（x）是奇函数”求，再结合求解．
（2）要求用定义，则先在给定的区间任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号．
（3）由f（t-1）+f（t）＜0．且f（x）为奇函数，得f（t）＜-f（t-1）=f（1-t），又函数f（x）是定义在区间（-1，1）上的增函数，故可求．
解答：解：（1）∵f（x）是在区间（-1，1）上的奇函数．∴a=1…（4分）
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1=∴-1＜x₁＜x₂＜1∴x₁-x₂＜01-x₁x₂＞0（1+x₁²）（1+x₂²）＞0∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）∴f（x）在区间（-1，1）上是增函数．…（8分）
（3）∴f（t-1）+f（t）＜0．且f（x）为奇函数∴f（t）＜-f（t-1）=f（1-t）
又∴函数f（x）是定义在区间（-1，1）上的增函数．∴∴
故关于t的不等式的解集为…（12分）
点评：本题主要考查应用奇偶性来求函数解析式，应用单调性定义来证明函数的单调性，还考查了综合运用奇偶性和单调性来解不等式的能力