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已知等差数列{an}的前 n 项和为Sn,令bn=
1
Sn
,且a4b4=
2
5
,S6-S3=15,Tn=b1+b2+…+bn
求:①数列{bn}的通项公式; ②求Tn
分析:①设出{an}的首项a1,公差d,a4b4=
2
5
,S6-S3=15,把这两个等式中的未知数全换成a1和d,求出a1和d,也就求出了Sn,可求数列{bn}的通项公式;
②把数列{bn}中的每项都裂成两部分,也就是差的形式,各项相加,可消项,最后只留两项,得结果.
解答:解(1)设{an}的首项为a1,公差为d,
则a4=a1+3d,S3=3a1+3d,S4=4a1+6d,S6=6a1+15d,b4=
1
4a1+6d

a1+3d
4a1+6d
=
2
5
①…(4分)
又(6a1+15d)-(3a1+3d)=15②
由①②得a1=d=1…(6分)
Sn=
n(n+1)
2
bn=
2
n(n+1)
…(8分)

(2)bn=
2
n(n+1)
=2(
1
n
-
1
n+1
)
…(10分)

Tn=2(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n
-
1
n+1
)=2(1-
1
n+1
)=
2n
n+1
…(12分)
点评:已知数列为等差数列,求通项公式,求首项和公差即可;用裂项法求和时,注意项的形式,分子上是一个常数,分母上可分解成两个关于n的一次式相乘.
练习册系列答案
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已知等差数列{an},公差d不为零,a1=1,且a2,a5,a14成等比数列;
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足bn=an3n-1,求数列{bn}的前n项和Sn

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已知等差数列{an}中:a3+a5+a7=9,则a5=
 

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已知等差数列{an}满足:a5=11,a2+a6=18.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=an+q an(q>0),求数列{bn}的前n项和Sn

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已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10
(1)求数列{an}的通项公式;     
(2)求数列{|an|}的前n项和;
(3)求数列{
an2n-1
}的前n项和.

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精英家教网已知等差数列{an}中,a4a6=-4,a2+a8=0,n∈N*
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若{an}为递增数列,请根据如图的程序框图,求输出框中S的值(要求写出解答过程).

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