Question

1．已知函数y=f（x）与y=（$\frac{1}{2}$）^x的图象关于直线y=x对称，则f（x²-2x-3）的单调递增区间为（-∞，-1）．

Answer 1

分析 函数y=f（x）与y=（$\frac{1}{2}$）^x的图象关于直线y=x对称，可得f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$．利用二次函数、对数函数、复合函数的单调性即可得出．

解答 解：∵函数y=f（x）与y=（$\frac{1}{2}$）^x的图象关于直线y=x对称，
∴f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$．
∴f（x²-2x-3）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（{x}^{2}-2x-3）$，
由x²-2x-3＞0，解得x＞3或x＜-1．
x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴f（x²-2x-3）的单调递增区间为（-∞，-1），
故答案为：（-∞，-1）．

点评 本题考查了反函数的求法、二次函数、对数函数、复合函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．