Question

若方程x²+y²+kx+2y+k²-11=0表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是

（-4，4）

．如果过点（1，2）总可以作两条直线和圆x²+y²+kx+2y+k²-11=0相切，则实数k的取值范围是

（-4，-2）∪（1，4）

．

Answer 1

分析：圆的一般方程化为标准方程可得 (x+

k

2

)2+（y+1）²=

48-3k2

4

，故

48-3k2

4

＞0，由此求出实数k的取值范围．
根据过点（1，2）总可以作两条直线和圆x²+y²+kx+2y+k²-11=0相切，可得点在圆的外部，故

48-3k2

4

＞0，且(1+

k

2

)2+（2+1）²＞

48-3k2

4

，解不等式求得k的取值范围．

解答：解：方程x²+y²+kx+2y+k²-11=0 即 (x+

k

2

)2+（y+1）²=

48-3k2

4

，由于它表示的曲线是圆，∴

48-3k2

4

＞0，
解得-4＜k＜4．
圆x²+y²+kx+2y+k²-11=0 即 (x+

k

2

)2+（y+1）²=

48-3k2

4

．
如果过点（1，2）总可以作两条直线和圆x²+y²+kx+2y+k²-11=0相切，则点（1，2）一定在圆x²+y²+kx+2y+k²-11=0的外部，
∴

48-3k2

4

＞0，且(1+

k

2

)2+（2+1）²＞

48-3k2

4

． 解得-4＜k＜-2，或1＜k＜4．
故答案为：（-4，4），（-4，-2）∪（1，4）．

点评：本题主要考查圆的标准方程和一般方程，点和圆的位置关系的应用，体现了等价转化的数学思想．