Question

17．已知函数f（x）=x²+kx的图象在点（1，f（1））处的切线方程为3x-y+b=0，则数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和为（　　）

• A． $\frac{n}{4n-2}$
• B． $\frac{1}{n+1}$
• C． $\frac{n}{n+1}$
• D． $\frac{2n}{3n+1}$

Answer 1

分析 求出函数的导数，求出切线的斜率，求出k，推出f（n），然后利用裂项消项法求解数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和

解答 解：函数f（x）=x²+kx，可得f′（x）=2x+k，
∵函数f（x）=x²+kx的图象在点（1，f（1））处的切线方程为3x-y+b=0，
∴2+k=3，∴k=1，∴f（n）=n²+n，$\frac{1}{f（n）}=\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
S_n=$\frac{1}{f（1）}+\frac{1}{f（2）}+\frac{1}{f（3）}+…+\frac{1}{f（n）}$=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
故选：C．

点评 本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法数列求和的方法，裂项消项法的应用，考查计算能力．