Question

若椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（2，1），离心率为

2

2

，F₁，F₂分别为其左、右焦点．
（Ⅰ）若点P与F₁，F₂的距离之比为

1

3

，求直线x-

2

y+

3

=0被点P所在的曲线C₂截得的弦长；
（Ⅱ） 设A₁，A₂分别为椭圆C₁的左、右顶点，Q为C₁上异于A₁，A₂的任意一点，直线A₁Q交C₁的右准线于点M，直线A₂Q交C₁的右准线于点N，求证MF₂⊥NF₂．

Answer 1

分析：（I）由题意得：

22 a2 + 12 b2 =1 c a = 2 2

⇒

a= 6 b= 3 c= 3

，F₁，F₂的坐标分别为：（-

3

，0），（

3

，0）．设点P（x，y）与F₁，F₂的距离之比为

1

3

，得出P所在的曲线C₂是一个圆心在（-

3 3

4

，0）半径为：

3 3

4

的圆，利用圆的性质即可求出直线x-

2

y+

3

=0被点P所在的曲线C₂截得的弦长．
（II）先设Q（s，t），由题意直线QA₁的方程，直线QA₂的方程．由于椭圆右准线方程为x=

a2

c

=2

3

，F₂（

3

，0），求出直线QA₁．QA₂分别交椭圆的右准线于M、N点最后利用斜率公式证得kMF 2•k NF 2=-1即可．

解答：解：由题意得：

22 a2 + 12 b2 =1 c a = 2 2

⇒

a= 6 b= 3 c= 3

，F₁，F₂的坐标分别为：（-

3

，0），（

3

，0）．
（I）设点P（x，y）与F₁，F₂的距离之比为

1

3

，
则：

(x+ 3 ) 2+y 2

(x- 3 ) 2+y 2

=

1

3

⇒（x+

3 3

4

）²+y²=

27

16

，
是一个圆心在（-

3 3

4

，0）半径为：

3 3

4

的圆，
圆心到直线直线x-

2

y+

3

=0的距离为d=

3 4

3

=

1

4

，
直线x-

2

y+

3

=0被点P所在的曲线C₂截得的弦长为：
2

27 16 - 1 16

=

26

2

．
（II）设Q（s，t），由题意直线QA₁的方程为

y

t

+

x- 6

s+ 6

=1，
直线QA₂的方程为

y

t

+

x+ 6

s- 6

=1，
由于椭圆右准线方程为x=

a2

c

=2

3

，F₂（

3

，0），
∵直线QA₁．QA₂分别交椭圆的右准线于M、N点
∴M（2，

6

s+ 6

t），N（2，

2

s- 6

t）
又P（s，t）在椭圆上，故有t2=3-

s2

2

 代入整理得
kMF 2•k NF 2=-1
∴MF₂⊥NF₂．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．