Question

已知圆C：（x-1）²+（y+2）²=9，是否存在斜率为1的直线L，使以直线L被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线方程； 若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：由已知中圆C：（x-1）²+（y+2）²=9，直线L的斜率为1，我们设出直线的斜截式方程，联立方程，根据韦达定理我们可以根据以AB为直径的圆过原点，构造关于b的方程，解方程即可求出答案．

解答：解：设直线L的方程为：y=x+b，且直线L被圆C截得的弦AB的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立：

y=x+b x2-2x+y2+4y-4=0

得2x²+（2+2b）x+b²+4b-4=04分
由题意得：△=（2+2b）²-8（b²+4b-4）＞0
得：-3-3

2

＜b＜-3+3

2

…6分
由韦达定理可得：x1+x2=-b-1，x1x2=

b2+4b-4

2

8分
又以AB为直径的圆过原点．∴x₁x₂+y₁y₂=0
化得：2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0
化简b²+3b-4=0
∴b=-4或b=1合题意…12分
所求的直线方程为：x-y-4=0和x-y+1=0…14分

点评：本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，其中本题所使用的“设成不求”+“联立方程”+“韦达定理”的方法是解答直线与圆锥曲线（包括圆）的关系时最常用的方法．