如图.AB是沿太湖南北方向道路.P为太湖中观光岛屿.Q为停车场.PQ=5.2km．某旅游团游览完岛屿后.乘游船回停车场Q.已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶.．游船离开观光岛屿3分钟后.因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q与旅游团会合.立即决定租用小船先到达湖滨大道M处.然后乘出租汽车到点Q(设游客� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，AB是沿太湖南北方向道路，P为太湖中观光岛屿，Q为停车场，PQ=5.2km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q，已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶，

．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M处，然后乘出租汽车到点Q（设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车）．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租汽车的速度为66km/h．
（Ⅰ）设

，问小船的速度为多少km/h时，游客甲才能和游船同时到达点Q；
（Ⅱ）设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q．

【答案】分析：（I）作PN⊥AB，N为垂足，由

．

，解Rt△PNQ和Rt△PNM，得到PQ和PM及MQ的长，构造方程可得满足条件的船速
（II）当小船行驶的方位角为α时，解三角形分别求出PM，MQ长，进而求出时间t的解析式，利用导数法，求出函数的最小值，可得答案．
解答：

解：（Ⅰ）如图，作PN⊥AB，N为垂足．

，

，
在Rt△PNQ中，PN=PQsinθ=

（km），
QN=PQcosθ=

（km）．
在Rt△PNM中，

（km）．…（3分）
设游船从P到Q所用时间为t₁h，游客甲从P经M到Q所用时间为t₂h，
小船的速度为v₁km/h，则

（h），

（h）． …（5分）
由已知得：

，

，
∴

．…（7分）
∴小船的速度为

km/h时，游客甲才能和游船同时到达Q．
（Ⅱ）在Rt△PMN中，

（km），

（km）．
∴

（km）． …（9分）
∴

．…（11分）
∵

，…（13分）
∴令t'=0得：

．
当

时，t'＞0；当

时，t'＜0．
∵cosα在

上是减函数，
∴当方位角α满足

时，t最小，
即游客甲能按计划以最短时间到达Q．…（15分）
点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，根据已知构造出恰当的函数是解答本题的关键．

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