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【题目】如图:某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(Rt△FHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20米,AD=10 米,记∠BHE=θ.

(1)试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域;
(2)问:当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度.

【答案】
(1)解:由题意可得EH= ,FH= ,EF= ,由于 BE=10tanθ≤10 ,AF= ≤10

而且 ≤tanθ≤ ,θ∈[ ],

∴L= + + ,θ∈[ ].

即L=10× ,θ∈[ ]


(2)解:设sinθ+cosθ=t,则 sinθcosθ= ,由于θ∈[ ],∴sinθ+cosθ=t= sin(θ+ )∈[ ].

由于L= 在[ ]上是单调减函数,∴当t= 时,即 θ= 或θ= 时,L取得最大值为 20( +1)米


【解析】(1)解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式,再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式,并注明θ的范围.(2)设sinθ+cosθ=t,根据函数 L= 在[ ]上是单调减函数,可求得L的最大值.
【考点精析】认真审题,首先需要了解三角函数的最值(函数,当时,取得最小值为;当时,取得最大值为,则).

练习册系列答案
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