Question

已知AB=2，BC=1的矩形ABCD，沿对角形BD将△BDC折起得到三棱锥C-ABD，且三棱锥的体积为，则异面直线BC与AD所成角的余弦值为________．

Answer 1

分析：求出棱锥的高等于直角三角形BCD的斜边BD上的高，可得平面BCD⊥平面ABD，作CE⊥BD，AF⊥BD，利用两个向量的数量积的定义求出的值，再根据又 =（ ）•（） 求出的值，从而得到
cos＜＞，即得BC与AD所成角的余弦值．
解答：设三棱锥C-ABD的高为h，则 （×2×1）h=，∴h=，
故 h是直角三角形BCD的斜边BD上的高，故平面BCD⊥平面ABD．作CE⊥BD，AF⊥BD，则
CE⊥面ABD，AF⊥面 BCD． =1×1cos＜＞=cos＜＞．
又 =（ ）•（）=+++
=0+0++0=BC²-CE²=1-=，
∴cos＜＞=，故异面直线BC与AD所成角的余弦值为 ，
故答案为 ．
点评：本题考查异面直线所成的角的定义和求法，体现了转化的数学的思想，求出cos＜＞是解题的关键．