Question

（2010•上饶二模）设函数f（x）=|-x²+2bx+c|，x∈[-1，1]的最大值为m．若m≥k对任意的b、c恒成立，则k的最大值是（　　）

• A．1
• B．

  1

  2

• C．

  1

  3

• D．

  1

  4

Answer 1

分析：函数f（x）=|-x²+2bx+c|，x∈[-1，1]的最大值为f（-1），f（1），f（b）三个中最大的一个值，然后根据b、c任意，然后取b=0，c=

1

4

与b=0，c=

1

2

进行判定，假设f（b）=|b²+c|=m，f（-1）≤m，f（1）≤m，从而求出m的范围，即可求出所求．

解答：解：函数f（x）=|-x²+2bx+c|，x∈[-1，1]的最大值为f（-1），f（1），f（b）三个中最大的一个值
而f（-1）=|c-2b-1|，f（1）=|c+2b-1|，f（b）=|b²+c|
∵m≥k对任意的b、c恒成立，
∴当b=0，c=

1

4

时也成立即f（x）=|-x²+

1

4

|，x∈[-1，1]的最大值为

3

4

故可排除选项A
当b=0，c=

1

2

时也成立即f（x）=|-x²+

1

2

|，x∈[-1，1]的最大值为

1

2

假设f（b）=|b²+c|=m，则c=m-b²或c=-m-b²
f（-1）=|c-2b-1|≤m，f（1）=|c+2b-1|≤m，
∴（b+1）²≤2m，（b-1）²≤2m，将两式相加得：2b²+2≤4m
即m≥

1

2

，而m≥k，k的最大值是

1

2

故选B．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及二次函数的性质和排除法的运用，属于难题．