Question

数列{a_n}的首项为a₁=2，且an+1=

1

2

(a1+a2+…+an)(n∈N)，记S_n为数列{a_n}前n项和，则S_n=

 

．

Answer 1

分析：观察已知可得an+1=

1

2

sn，an=

1

2

Sn-1两式相减可得{a_n}是从第二项开始的等比数列，代入等比数列的前n和公式求解

解答：解：由题意可得an+1=

1

2

Sn
当n≥2时，an=

1

2

Sn-1两式相减得，an+1-an=

1

2

(sn-sn-1)=

1

2

an
从而有an+1 =

3

2

an，(n≥2)，a2=

1

2

a 1=1 
数列 a_n从第二项开始的等比数列，公比为

3

2

∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=2+

1-( 3 2 )n-1

1-( 3 2 )

=2•(

3

2

)n-1
故答案为：2•(

3

2

) n-1

点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的通项公式，等比数列的求和公式，运用递推公式an=

sn-sn-1 n≥2 s1       n=1

时，要检验a₁的值是否适合a_n（n≥2），而本题中的a_n是从第二项开始的等比数列，在求和时，要分组进行求和．