【题目】已知函数
(1)当a≤0时,讨论函数f(x)的单调性;
(2)是否存在实数a,对任意的x1,x2(0,+∞),且x1≠x2,都有
恒成立.若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1)见解析(2)存在,
【解析】
(1)由题可知f(x)的定义域,再对其求导,利用分类讨论的根的大小,从而确定函数f(x)的单调性;
(2)假设存在,将已知条件转化为,构建新的函数g(x)=f(x)-ax,显然只要g(x)在(0,+∞)为增函数即成立,等价于不等式
在(0,+∞)恒成立,解得a的取值范围即为答案.
(1)由题可知, f(x)的定义域为,
.
①当时,
f(x)在(0,-a)上是增函数,在(-a,2)上是减函数,在上是增函数.
②当a=-2时,在上是增函数.
③时, 则f(x)在(0,2)上是增函数,在(2,-a)上是减函数,
在上是增函数.
(2) 假设存在实数a, 对任意的x1,x2(0,+∞),且x1≠x2,都有
恒成立
不妨设, 若
,即
.
令g(x)=f(x)-ax= -ax=
.
显然只要g(x)在(0,+∞)为增函数即成立
因为
要使g(x)在(0,+∞)为增函数则在(0,+∞)恒成立,
即只需-1-2a≥0,则.
故存在满足题意.
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【题目】2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布,旨在保障全民阅读权利,培养全民阅读习惯,提高全民阅读能力,推动文明城市和文化强市建设.某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况,随机调查了200名学生每周阅读时间(单位:小时)并绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差
(同一组中的数据用该组区间的中间值代表);
(2)由直方图可以认为,目前该校学生每周的阅读时间服从正态分布
,其中
近似为样本平均数
,
近似为样本方差
.
(i)一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算:若,令
,则
,且
.利用直方图得到的正态分布,求
.
(ii)从该高校的学生中随机抽取20名,记表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数,求
(结果精确到0.0001)以及
的数学期望.
参考数据:,
.若
,则
.
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【题目】设F是椭圆C:(a>b>0)的一个焦点,P是椭圆C上的点,圆x2+y2=
与线段PF交于A,B两点,若A,B三等分线段PF,则椭圆C的离心率为( )
A.B.
C.D.
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【题目】如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,,
,
,
,
为
的中点.
(1)求证:BM∥平面ADEF;
(2)求证:平面BDE⊥平面BEC.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设椭圆的离心率
,抛物线
的焦点恰好是椭圆
的右焦点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点作两条斜率都存在的直线
,设
与椭圆
交于
两点,
与椭圆
交于
两点,若
是
与
的等比中项,求
的最小值.
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