Question

设函数f（x）=

1

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x³-mx²+（m²-4）x，x∈R．
（1）当m=3时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）已知关于x的方程f（x）=0有三个互不相等的实根0，α，β（α＜β），求实数m的取值范围；
（3）在（2）条件下，若对任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥-

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恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=2处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可；
（2）由题意，等价于方程

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3

x²-mx+（m²-4）=0有两个不相等的实数根，从而其判别式大于0，可以求出实数m的取值范围；
（3）恒成立问题转化为区间最小值≥-

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3

即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

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3

x3-mx2+(m2-4)x，x∈R．
∴f′（x）=x²-2mx+m²-4
当m=3时，f′（2）=-3，f（2）=

2

3

所以所求的直线方程为9x+3y-20=0．
（2）∵函数f（x）=

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x3-mx2+(m2-4)x=x[

1

3

x2-mx+(m2-4)]
若关于x的方程f（x）=0有三个互不相等的实根0，α，β
则△=m²-

4

3

(m2-4)＞0，
解得：-4＜0＜4
故满足条件的实数m的取值范围为（-4，4）

（3）∵f'（x）=x²-2mx+m²-4=[x-（m-2）][x-（m+2）]，
f（x）在（-∞，m-2）上递增，在（m-2，m+2）递减，在（m+2，+∞）递增，
f（x）_极大值=f（m-2）=

1

3

（m-2）³-m（m-2）²+（m²-4）（m-2）＞0，
f（x）_极小值=f（m+2）=

1

3

（m+2）³-m（m+2）²+（m²-4）（m+2）＜0，
得-4＜m0且m²-4≠0，得-4＜m＜4，m≠±2．
若m+2＜0，即m∈（-4，-2），当x∈[α，β]时，f（x）_min=0，
∴当m∈（-4，-2）时，f（x）≥-

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3

恒成立．
若m-2＜0＜m+2，即m∈（-2，2）要使当x∈[α，β]时，f（x）≥-

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3

恒成立，即f（x）_min=f（m+2）≥-

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．
f（m+2）=

1

3

（m+2）³-m（m+2）²+（m²-4）（m+2）≥-

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3

，得m（m²-12）≥0
∵m∈（-2，2）∴m²-12＜0，∴m≤0，∴当-2＜m≤0时，f（x）≥-

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3

恒成立．
若0＜m-2，即m∈（2，4），要使当x∈[α，β]时，f（x）≥-

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3

恒成立，
即f（x）_min=f（m+2）≥-

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3

，f（m+2）=

1

3

（m+2）³-m（m+2）²+（m²-4）（m+2）≥-

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3

得m（m²-12）≥0∵m∈（2，4）
∴2

3

≤m＜4
综上得：m的取值范围是（-4，-2）∪(-2，0]∪[2

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，4)．

点评：本题考查了导数的几何意义及恒成立问题的处理策略，解题时，弄清题意，合理运用恒成立问题的处理策略是关键