Question

8．如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为3，M，N分别是棱AA₁，AB上
的点，且AM=AN=1．
（Ⅰ）证明：M，N，C，D₁四点共面；
（Ⅱ）求几何体AMN-DD₁C的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：MN∥A₁B，即可证明M，N，C，D₁四点共面；
（Ⅱ）证明几何体AMN-DD₁C是一个三棱台，再求几何体AMN-DD₁C的体积．

解答 （Ⅰ）证明：∵A₁D₁∥AD，A₁D₁=AD，
又BC∥AD，BC=AD，∴A₁D₁∥BC且A₁D₁=BC
连接A₁B，则四边形A₁BCD₁是平行四边形
所以A₁B∥D₁C…（3分）
在△ABA₁中，AM=AN=1，AA₁=AB=3
所以$\frac{AM}{{A{A_1}}}=\frac{AN}{AB}$，所以MN∥A₁B…（6分）
所以MN∥D₁C，所以M，N，C，D₁四点共面．…（7分）
（Ⅱ）解：因为平面ABB₁A₁∥平面DCC₁D₁，
又M，N，C，D₁四点共面．　
所以平面AMN∥平面DD₁C
延长CN与DA相交于点P，
因为AN∥DC
所以$\frac{AN}{DC}=\frac{PA}{PD}$，即$\frac{1}{3}=\frac{PA}{PA+3}$，解得$PA=\frac{3}{2}$，
同理可得$QA=\frac{3}{2}$，所以点P与点Q重合
所以D₁M，DA，CN三线相交于一点，
所以几何体AMN-DD₁C是一个三棱台，…（10分）
所以${V_{AMN-D{D_1}C}}=\frac{1}{3}×（{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}×\frac{9}{2}}+\frac{9}{2}}）×3=\frac{13}{2}$…（14分）

点评 本题考查四点共面的证明，考查求几何体AMN-DD₁C的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．