Question

设函数f（x）=ax²+（b-2）x+3（a≠0），若不等式f（x）＞0的解集为（-1，3）．
（1）求a，b的值；
（2）若函数f（x）在x∈[m，1]（m＜1）上的最小值为1，求实数m的值．

Answer 1

解：（1）因为f（x）＞0的解集为（-1，3）．
所以-1，3为方程f（x）=0的根，则，解得：a=-1，b=4．
（2）f（x）=-x²+2x+3，
∵f（x）图象的开口方向向下，对称轴方程为x=1，
∴f（x）在x∈[m，1]上单调递增，
∴x=m时f（x）_min=-m²+2m+3=1，
解得m=1±．
又m＜1，∴m=1-．
分析：（1）由不等式f（x）＞0的解集为（-1，3）知：-1，3是方程f（x）=0的两根，由韦达定理便可解得a，b的值．
（2）由第（1）问可写出f（x）的解析式，得知f（x）的开口方向以及对称轴，判断出f（x）在[m，1]上的单调性，然后由最小值等于1列方程，解得m的值．
点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，以及一元二次函数的性质，深刻理解“三个二次”间的关系解决该类问题的基础，注意数形结合思想在其中的运用．