Question

已知f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1．
（1）求f（

π

12

）的值；
（2）若x∈[-

π

12

，

π

2

]，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先对函数关系式进行恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的关系式求出函数的值．
（2）根据（1）中函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1．
=

3

sin2x+cos2x
=2sin(2x+

π

6

)，
∴f(

π

12

)=2sin(

π

6

+

π

6

)=2sin

π

3

=

3

，
（2）∵-

π

12

≤x≤

π

2

，
∴-

π

6

≤2x≤π，
∴0≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
∴-1≤2sin(2x+

π

6

)≤2，
∴f（x）的值域为[-1，2]．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用三角函数的关系式求出函数的值，利用三角函数的定义域求函数的值域．属于基础题型．