Question

10．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴被圆x²+y²=b²与x轴的两个交点三等分，则椭圆的离心率是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 根据题意得出椭圆的长轴长是短轴长的3倍，再利用a，b，c的关系建立等式求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．

解答 解：由题意方程可得长轴长为2a，两焦点间的距离2c，
∵椭圆的长轴被半径为b的圆与x轴的两个交点三等分，
∴a=3b，又a²=b²+c²，∴c²=8b²，
∴则椭圆的离心率是：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}b}{3b}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查了椭圆的简单性质．求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比；二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可．