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    在△ABC中，已知 A∶B = 1∶2，求证 a2 + a c = b2．

     

    答案：
    解析：

    		证法一：由B = 2A，得 sinB = sin2A，即 sinB = 2 sinA cosA，

    ∴  ．

    由正弦定理，；又由余弦定理有：

    ，即ab2 + ac2－a3－b2c = 0

    因此，b2 ( a－c )－a ( a2－c2 ) = 0，即

    ．

    若 a ≠ c，有 b2－a ( a + c ) = 0，则 a2 + ac = b2 ．

    若 a = c，则A = C，A∶B∶C = 1∶2∶1，

    ∴ B = 90º，则此时△ABC为等腰直角三角形，仍有 b2 = a2 + ac ．

    证法二：由B = 2A，得C = π－ ( A + B ) = π－3A ．

    由正弦定理，得

    ．

     


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    ．

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