Question

【题目】已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn= n2+ n（n∈N*），数列{bn}是首项为4的正项等比数列，且2b2 ， b3﹣3，b2+2成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=anbn（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵数列{an}的前n项和Sn满足Sn= n2+ n（n∈N*）， ∴a1=S1= =5，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（ ）﹣[ ]
=3n+2，
当n=1时，上式成立，
∴数列{an}的通项公式为an=3n+2．
∵数列{bn}是首项为4的正项等比数列，且2b2 ， b3﹣3，b2+2成等差数列，
∴ ，解得q=2．
∴数列{bn}的通项公式bn=4×2n﹣1=2n+1 ．
（Ⅱ）∵cn=anbn=（3n+2）2n+1=（6n+4）2n ，
∴数列{cn}的前n项和：
Tn=10×2+16×22+22×23+…+（6n+4）×2n ， ①
2Tn=10×22+16×23+22×23+…+（6n+4）×2n+1 ， ②
①﹣②，得：
﹣Tn=20+6（22+23+…+2n）﹣（6n+4）×2n+1
=20+6× ﹣（6n+4）×2n+1
=﹣4﹣（6n﹣2）×2n+1 ，
∴Tn=（6n﹣2）×2n+1+4．
【解析】（Ⅰ）由数列{an}的前n项和Sn满足Sn= n2+ n（n∈N*），得到a1=S1=5，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=3n+2，由此能求出数列{an}的通项公式；由数列{bn}是首项为4的正项等比数列，且2b2 ， b3﹣3，b2+2成等差数列，利用等比数列通项公式、等差数列性质列出方程，求出公比，由此能求出数列{bn}的通项公式．（Ⅱ）由cn=anbn=（3n+2）2n+1=（6n+4）2n ， 利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和．