Question

已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，正方形ABCD边长为2，PD=2，E，F分别是PA、BC的中点
（1）求证：EF∥平面PDC；
（2）求证：DE⊥PB．

Answer 1

解：（1）取PD中点G，连接EG、FG
∵EG是△PAD的中位线，∴EG∥AD且EG=AD
又∵正方形ABCD中，F为CD中点，可得FC∥AD且FC=AD
∴EG∥FC且EG=FC，可得四边形CFEG是平行四边形
∴EF∥CG，
∵EF?平面PDC，CG?平面PDC，∴EF∥平面PDC；
（2）∵PD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PD⊥AB，
∵AD⊥AB，AD、PD是平面PAD内的相交直线
∴AB⊥平面PAD，结合DE?平面PAD，可得DE⊥AB
∵△PAD中，PD⊥AD，PD=AD=2，E为PA中点，∴DE⊥PA
∵PA、AB是平面PAB内的相交直线，
∴DE⊥平面PAB，结合PB?平面PAB，可得DE⊥PB．
分析：（1）取PD中点G，连接EG、FG，根据三角形中位线定理证出EG∥AD且EG=AD，由F为正方形ABCD的边CD中点，得FC∥AD且FC=AD，从而得到四边形CFEG是平行四边形，得EF∥CG，由此结合线面平行判定定理即可证出EF∥平面PDC；
（2）根据PD⊥平面ABCD，得到PD⊥AB，结合AD⊥AB证出AB⊥平面PAD，从而得到DE⊥AB．等腰Rt△PAD中E为PA中点，可得DE⊥PA，结合PA、AB是平面PAB内的相交直线，得到DE⊥平面PAB，从而可得DE⊥PB．
点评：本题给出底面为正方形且一条侧棱与底面垂直的四棱锥，求证线面平行和线线垂直，着重考查了空间直线与平面平行的判定定理和、线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．