Question

已知sin(x+

π

4

)=

4

5

，

π

4

＜x＜

5π

4

．
（Ⅰ） 求sin2x的值； 
（Ⅱ）求

sin2x-2cos2x

1+tanx

的值．

Answer 1

分析：（1）由已知可得x+

π

4

∈(

π

2

，

3π

2

)，cos(x+

π

4

)=-

3

5

，从而解方程组求得sinx和cosx的值，进而求得sin2x=2sinxcosx的值．
（2）根据

sin2x-2cos2x

1+tanx

=

2sinxcosx-2cos2x

1+ sinx cosx

，运算求得结果．

解答：解：（1）由已知得sin（x+

π

4

）=

2

2

sinx+

2

2

cosx=

4

5

 ①，且x+

π

4

∈(

π

2

，

3π

2

)，∴cos(x+

π

4

)=-

3

5

，
即

2

2

cosx-

2

2

sinx=-

3

5

 ②．
由①、②解得 sinx=

7 2

10

，cosx=

2

10

，
∴sin2x=2sinxcosx=

7

25

．…（5分）
（2）∴

sin2x-2cos2x

1+tanx

=

2sinxcosx-2cos2x

1+ sinx cosx

=

3

100

．…（10分）

点评：本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式的应用，属于中档题．