分析 (1)利用向量数量积的定义先求出函数f(x)的解析式,即可求出当x∈[-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{2}$]时,f(x)函数的值域;
(2)根据三角函数的性质即可求函数f(x)的最小正周期和单调减区间;
(3)求出g(x)=f(x),x∈[-$\frac{7π}{12}$,$\frac{5π}{12}$]的表达式,利用三角函数的性质即可写出g(x)的对称轴和对称中心.
解答 解:(1)f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=(2sinx,sin(2x+$\frac{π}{6}$)cosx)•(sinxsin(2x+$\frac{π}{6}$),2cosx)
=2sin2xsin(2x+$\frac{π}{6}$)+2cos2xsin(2x+$\frac{π}{6}$)=2sin(2x+$\frac{π}{6}$),
当x∈[-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{2}$]时,2x∈[-$\frac{π}{2}$,π],2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$,$\frac{7π}{6}$],
∴2sin(2x+$\frac{π}{6}$)∈[2sin(-$\frac{π}{3}$),2sin$\frac{π}{2}$],
即2sin(2x+$\frac{π}{6}$)∈[-$\sqrt{3}$,2],
即f(x)函数的值域是[-$\sqrt{3}$,2];
(2)函数f(x)的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π,
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,k∈Z;
得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$,k∈Z,
即函数的单调减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$,kπ+$\frac{2π}{3}$],k∈Z;
(3)g(x)=f(x)=2sin(2x+$\frac{π}{6}$),x∈[-$\frac{7π}{12}$,$\frac{5π}{12}$],
则对应的图象为:
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$得x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$,即函数的对称轴为x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$,k∈Z,
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ得x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$,即函数的对称中心为($\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$,0),k∈Z.
点评 本题主要考查函数解析式的化简和求解,以及三角函数性质的考查,要求熟练掌握三角函数的图象和性质.
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A. | 24 | B. | -24 | C. | $\sqrt{5}$-1 | D. | 1-$\sqrt{5}$ |
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