Question

5．已知$f（x）=a+\frac{2}{{{3^x}+1}}$，a是实常数，
（1）当a=1时，写出函数f（x）的值域；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）若f（x）是奇函数，不等式f（f（x））+f（m）＜0有解，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，利用指数函数的性质，即可求出函数f（x）的值域；
（2）利用单调性的定义，判断并证明f（x）的单调性；
（3）若f（x）是奇函数，求出a，不等式f（f（x））+f（m）＜0有解，f_max（x）＞-m有解，即可求m的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，$f（x）=1+\frac{2}{{{3^x}+1}}$，定义域为R，
3^x+1∈（1，+∞），∴f（x）∈（1，3），
即函数的值域为（1，3）．
（2）函数f（x）在R上单调递减；下证明．
证明：设任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂．
$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{2}{{{3^{x_1}}+1}}-\frac{2}{{{3^{x_2}}+1}}$=$\frac{2（{3}^{{x}_{2}}-{3}^{{x}_{1}}）}{（{3}^{{x}_{1}}+1）（{3}^{{x}_{2}}+1）}$＞0，
所以函数f（x）在R上单调递减．
（3）因为f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x）恒成立，
即$a+\frac{2}{{{3^{-x}}+1}}=-a-\frac{2}{{{3^x}+1}}$对x∈R恒成立，
化简整理得$-2a=\frac{{2•{3^x}}}{{{3^x}+1}}+\frac{2}{{{3^x}+1}}$，即a=-1．
因为f（f（x））+f（m）＜0有解，且函数为奇函数，
所以f（f（x））＜-f（m）=f（-m）有解，
又因为函数f（x）在R上单调递减，所以f（x）＞-m有解，
即f_max（x）＞-m有解，
又因为函数f（x）=$\frac{2}{{3}^{x}+1}$-1的值域为（-1，1），
所以-m＜1，即m＞-1．

点评 本题考查函数奇偶性、单调性的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．