Question

已知：

a

、

b

、

c

是同一平面内的三个向量，其中

a

=（1，2）
（1）若|

c

|=2

5

，且

c

∥

a

，求

c

的坐标；
（2）若|

b

|=

5

2

，且

a

+2

b

与2

a

-

b

垂直，求

a

与

b

的夹角θ；
（3）若

b

=（1，1），且

a

与

a

+λ

b

的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量共线（平行）的坐标表示

专题：计算题,不等式的解法及应用,平面向量及应用

分析：（1）运用向量共线的坐标表示和向量的模的公式，计算即可得到；
（2）运用向量垂直的条件：数量积为0，以及向量的夹角公式，计算即可得到；
（3）运用向量的夹角为锐角的等价条件：数量积大于0，且不共线，计算即可得到范围．

解答： 解：（1）设

c

=(x，y)，由

c

∥

a

和|

c

|=2

5

可得：

y=2x x2+y2=20

解得，

x=2 y=4

　或 

x=-2 y=-4

，
∴

c

=(2 ， 4)，或

c

=(-2 ，-4)；
（2）由(

a

+2

b

)⊥(2

a

-

b

)得，(

a

+2

b

)•(2

a

-

b

)=0，
即，2

a

2+3

a

•

b

-2

b

2=0，
2|

a

|2+3

a

•

b

-2|

b

|2=0，即有2×5+3

a

•

b

-2×

5

4

=0，
所以

a

•

b

=-

5

2

；
得cosθ=

a • b

| a |•| b |

=-1，
由 θ∈[0，π]，得，θ=π；
（3）

a

=(1 ， 2)⇒

a

+λ

b

=(λ+1 ， λ+2)，
由

a

与

a

+λ

b

的夹角为锐角，得

a

•(

a

+λ

b

)＞0，λ+1+2λ+4＞0⇒λ＞-

5

3

，
若

a

∥

a

+λ

b

，得λ=0，
所以，λ∈(-

5

3

 ， 0)∪(0 ， +∞)．

点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量共线的坐标表示，考查向量的夹角为锐角的等价条件，考查运算能力，属于基础题和易错题．