Question

13．为研究某市高中教育投资情况，现将该市某高中学校的连续5年的教育投资数据进行统计，已知年编号x与对应教育投资y（单位：百万元）的抽样数据如下表：

单位编号x	1	2	3	4	5
投资额y	3.3	3.6	3.9	4.4	4.8

（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析5年来的该高中教育投资变化情况，预测该高中下一年的教育投资约为多少？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
（参考公式：回归直线方程式$\hat y=\hat bx+\hat a$，其中$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\bar x）（{y_i}-\bar y}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\bar x）}^2}}}}，\hat a=\bar y-\hat b\bar x$）

Answer 1

分析 （1）首先求出x，y的平均数，得到样本中心点，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，即可写出线性回归方程．
（2）当自变量取6时，把6代入线性回归方程，求出销售额的预报值，这是一个估计数字．

解答 解：（1）由所给数据计算得$\overline x=\frac{1}{5}（1+2+3+4+5）=3$，$\overline y=\frac{1}{5}（3.3+3.6+3.9+4.4+4.8）=4$$\sum_{i=1}^5{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}=10$，$\sum_{i=1}^5{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}=5.4$，
∴$\hat b=\frac{3.8}{10}=0.38$，∴$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=4-0.38×3=2.86$
∴所求回归方程为$\hat y=0.38x+2.86$…．（8分）
（2）由（1）知：下年的教育投资约为0.38×6+2.86=5.14（百万元）…．（12分）

点评 本题考查回归分析的初步应用，考查求线性回归方程，考查预报y的值，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，这是解答正确的主要环节，本题是一个中档题目．