Question

用[x]表示不超过x的最大整数，如[1.8]=1．对于下面关于函数f（x）=（x-[x]）²的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，1]；
②函数y=f（x）的图象关于y轴对称；
③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
④函数y=f（x）在（0，1）上是增函数．
其中正确命题的序号是

 

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：根据题意，以此分析4个命题：通过函数y=x-[x]∈[0，1）的值域可知①是否正确，通过举反例f（-

1

3

）≠f（

1

3

），可得②不正确，通过周期函数的定义可知③是否正确，化简函数在（0，1）上的解析式可知函数y=f（x）在（0，1）上的单调性，综合可得答案．

解答：解：由题意可知：y=x-[x]∈[0，1），∴函数f（x）=（x-[x]）²的最大值取不到1，故①不对；
∵f（-

1

3

）=[-

1

3

-（-1）]²=

4

9

，f（

1

3

）=（

1

3

-0）²=

1

9

，则f（-

1

3

）≠f（

1

3

）
∴函数y=f（x）的图象不关于y轴对称，故②不对；
又知函数每隔一个单位重复一次，f（x+1）=（x-1-[x+1]）²=f（x），所以函数是以1为周期的函数，故③正确；
在（0，1）上f（x）=（x-[x]）²=（x-0）²=x²，∴函数y=f（x）在（0，1）上是增函数，故④正确；
故答案为 ③④．

点评：本题考查的是分段函数知识和函数值域等性质的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、特值的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．