分析 (1)利用等面积,可得$\sqrt{(16-m)(m-7)}$=$\frac{1}{2}×3×\frac{4\sqrt{2}}{3}$,即可求实数m的值:
(2)以AB为直径的圆与圆C外切有$\frac{|AB|}{2}$+1=|QC|,可得x0+2=$\sqrt{({x}_{0}-4)^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$①,分类讨论,利用斜率相等,可得${{y}_{0}}^{2}$=2(x0-1)②,即可得出结论.
解答 解:(1)抛物线y2=4x的焦点F(1,0),圆的圆心为(4,0),圆的半径为$\sqrt{16-m}$,则
利用等面积,可得$\sqrt{(16-m)(m-7)}$=$\frac{1}{2}×3×\frac{4\sqrt{2}}{3}$,∴m=8或15;
(2)若m>12,则m=15,圆C:(x-4)2+y2=1,半径为1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点坐标为(x0,y0)
由抛物线定义可知$\frac{|AB|}{2}$=x0+1,∴以AB为直径的圆与圆C外切有$\frac{|AB|}{2}$+1=|QC|,
∴x0+2=$\sqrt{({x}_{0}-4)^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$①
当AB斜率不存在时,Q与F重合,x0=1,此时$\frac{|AB|}{2}$+1=|QC|,符合题意;
当AB斜率存在时,x0≠1,由$\left\{\begin{array}{l}{{{y}_{1}}^{2}=4{x}_{1}}\\{{{y}_{2}}^{2}=4{x}_{2}}\end{array}\right.$,可得kAB=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2}{{y}_{0}}$,
∵kAB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$,
∴$\frac{2}{{y}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$,
∴${{y}_{0}}^{2}$=2(x0-1)②,
联立①②,解得x0=1(矛盾),
综上所述,存在直线AB:x=1,符合条件.
点评 本题考查直线与圆的位置关系,考查抛物线的定义,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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A. | 2$\sqrt{3}$ | B. | $\sqrt{3}$ | C. | 2 | D. | 4$\sqrt{3}$ |
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